8 Distribución muestral de un estadístico

Objetivos de aprendizaje

Al finalizar este capítulo, seré capaz de:

Recordar qué es una distribución muestral y distinguirla de la distribución poblacional.
Comprender por qué los estadísticos como \(\bar{X}_n\) y \(\hat\sigma^2\) tienen distribuciones propias que dependen de \(n\).
Aplicar las distribuciones \(\chi^2\) y \(t\) de Student para calcular probabilidades sobre estimadores en muestras normales.
Analizar cuándo usar la distribución \(t\) en lugar de la normal y qué consecuencia tiene el desconocimiento de \(\sigma\).
Comparar los enfoques bayesiano y frecuentista para construir distribuciones muestrales de un estimador.

Este capítulo responde una pregunta central: si tomamos una muestra diferente, ¿cuánto cambia nuestro estimador? En capítulos anteriores aprendimos a construir estimadores puntuales (MLE, método de momentos, estimadores de Bayes). Aquí desarrollamos las herramientas para cuantificar su variabilidad: la distribución muestral, la distribución \(\chi^2\) y la distribución \(t\) de Student. Estas tres herramientas son los cimientos de los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis que se verán en los capítulos siguientes.

8.1 Distribución muestral

La distribución muestral de un estadístico se refiere a la distribución de dicho estadístico basada en todas las posibles muestras de un tamaño dado que se pueden obtener de una población.

Formalmente, si \(X_1,\dots,X_n\) es una muestra con parámetro desconocido \(\theta\), y \(T=r(X_1,\dots,X_n,\theta)\), entonces la distribución de \(T\) dado \(\theta\) se llama distribución muestral.

Ejemplo 8.1 Considere una población con distribución \(N(\mu,\sigma^2)\) con \(\sigma^2\) conocido. El estimador de máxima verosimilitud (MLE) de \(\mu\) es:

\[\begin{equation*} \hat\mu = \dfrac 1n \sum_{i=1}^n X_i = \bar{X}_n. \end{equation*}\]

La distribución muestral de \(\bar{X}_n\) es \(N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)\), donde \[\begin{align*} \mathbb E[\bar{X}_n] & = \dfrac 1n\displaystyle\sum_{i=1}^n\mathbb E[X_i] = \dfrac 1n\cdot n \mathbb E[X_1] = \mu \\ \text{Var}(\bar{X}_n) & = \text{Var}\left(\dfrac 1n \displaystyle\sum_{i=1}^n X_i\right) = \dfrac{1}{n^2}\cdot n\cdot \text{Var}(X_1) = \dfrac{\sigma^2}{n}. \end{align*}\]

Ejemplo 8.2 Suponga que \(X_i\) para \(i=1, 2, 3\) es el tiempo de vida de un aparato, cuya distribución es \(\text{Exp}(\theta)\). Para ilustrar los cálculos de forma manejable fijamos \(n=3\) observaciones; el procedimiento se generaliza a cualquier \(n\). Suponga que queremos estimar \(\mathbb P(|\hat\theta-\theta|<0.1)\). Este ejemplo ilustra cómo los dos enfoques de la inferencia —frecuentista y bayesiano— responden a la misma pregunta de forma distinta, usando la distribución muestral como herramienta común. Usemos los enfoques bayesianos y frecuentistas para resolver el problema.

8.1.1 Enfoque bayesiano

Suponga que la previa de \(\theta\) es \(\Gamma(1,2)\). La posterior sería

\[\begin{equation*} \theta|X \sim \Gamma\left(1+3,2+\sum_{i=1}^3 X_i\right). \end{equation*}\]

El estimador bayesiano, bajo pérdida cuadrática, es

\[\begin{equation*} \mathbb E[\theta|X] = \dfrac 4{2+\sum X_i} = \hat\theta \end{equation*}\]

Note que

\[\begin{align*} \mathbb P(|\hat\theta-\theta|<0.1) & = \mathbb E \left[1_{\{|\hat\theta-\theta|<0.1\}}\right] \\ & = \mathbb E\left[\mathbb E \left[1_{\{|\hat\theta-\theta|<0.1\}}\vert \theta\right]\right] \\ & = \mathbb E\left[\mathbb P\left(|\hat\theta-\theta|<0.1|\theta\right)\right] \end{align*}\]

Debemos definir primero cuál es la función de distribución de \(\hat{\theta}\).

\[\begin{align*} F_{\hat{\theta}}(t|\theta) = \mathbb P(\hat\theta\leq t|\theta) & = \mathbb P\left( \dfrac 4{2+T}\leq t\bigg|\theta\right) \\ & = \mathbb P\left( 2+T \geq \dfrac 4t\bigg|\theta\right) \\ & = \mathbb P\left( T \geq \dfrac 4t-2\bigg|\theta\right) \end{align*}\]

Observación. Recuerde que sumas de exponenciales es una gamma. (Ver teorema 5.7.7 del libro).

Entonces \(T=\sum_{i=1}^{3}X_{i}\sim \Gamma(3,\theta)\), por lo que \(F(t|\theta) = 1-G_{\Gamma(3,\theta)}\left( \dfrac 4t-2\right)\). Aqui denotamos como \(G\) a la distribución de \(T\).

De esta manera,

\[\begin{align*} \mathbb P\left[|\hat\theta-\theta|<0.1|\theta\right] & = \mathbb P \left[-0.1+\theta < \hat\theta < 0.1 +\theta|\theta\right] \\ & = G_{\Gamma(3,\theta)}\left(\dfrac 4{-0.1+\theta} - 2\right)-G_{\Gamma(3,\theta)}\left(\dfrac 4{0.1+\theta} - 2\right) \end{align*}\]

y se toma la esperanza para estimar la probabilidad. Este valor no se puede estimar de forma cerrada, pero sí aproximar mediante simulación.

Código

set.seed(42)
theta_real <- 1
n_sim      <- 10000

# Simular n_sim muestras de Exp(θ) con n = 3
muestras    <- matrix(rexp(n_sim * 3, rate = theta_real), nrow = n_sim)
T_suma      <- rowSums(muestras)        # T = X1 + X2 + X3 ~ Gamma(3, θ)
theta_bayes <- 4 / (2 + T_suma)        # Estimador bayesiano E[θ|X] = 4/(2+T)

# P(|θ̂ - θ| < 0.1) por simulación
cat("Si θ = ", theta_real, ", entonces\n", "P(|θ̂_Bayes - θ| < 0.1) ≈ ", mean(abs(theta_bayes - theta_real) < 0.1))

Si θ =  1 , entonces
 P(|θ̂_Bayes - θ| < 0.1) ≈  0.2095

Código

import numpy as np

rng        = np.random.default_rng(42)
theta_real = 1
n_sim      = 10_000

# Simular n_sim muestras de Exp(θ) con n = 3
muestras    = rng.exponential(scale=1/theta_real, size=(n_sim, 3))
T_suma      = muestras.sum(axis=1)          # T = X1 + X2 + X3 ~ Gamma(3, θ)
theta_bayes = 4 / (2 + T_suma)             # Estimador bayesiano E[θ|X] = 4/(2+T)

# P(|θ̂ - θ| < 0.1) por simulación
prob = np.mean(np.abs(theta_bayes - theta_real) < 0.1)
print("Si θ = " + str(theta_real) + ", entonces\n" + f"P(|θ̂_Bayes - θ| < 0.1) ≈ {prob:.4f}")

Si θ = 1, entonces
P(|θ̂_Bayes - θ| < 0.1) ≈ 0.2143

8.1.2 Enfoque frecuentista

Otra solución es estimar la probabilidad de que \(\theta\) y \(\hat{\theta}\) estén cerca de forma relativa. Usando el MLE \(\hat{\theta} = \frac{3}{T}\), se podría construir esa probabilidad de forma que no dependa de \(\theta\).

El problema a resolver sería:

\[ \mathbb P \left(\bigg| \underbrace{\dfrac{\hat\theta_{MLE}}\theta-1}_{\text{Cambio relativo}} \bigg| < 0.1\bigg|\theta \right) = \mathbb P \left( \bigg| \dfrac{3}{\theta T}-1 \bigg| < 0.1 \bigg| \theta \right) = \Delta \]

Si \[\begin{equation*} T\sim\Gamma(3,\theta) \end{equation*}\] entonces \(\theta T \sim \Gamma(3,1)\).

Por lo tanto, \[ \Delta = \mathbb P \left(0.9<\dfrac 3{\theta T}<1.1\bigg|\theta\right) = \mathbb P \left(\dfrac 3{1.1}<\theta T<\dfrac 3{0.9}\right) = 13,4\% \]

Ideas clave: distribución muestral

La distribución muestral de un estadístico describe cómo varía ese estadístico sobre todas las posibles muestras del mismo tamaño \(n\).
Un estimador es una variable aleatoria: tiene su propia distribución, esperanza y varianza.
El enfoque frecuentista trabaja con la distribución condicional dado \(\theta\) fijo; el bayesiano promedia sobre la distribución del parámetro.

8.2 Distribución \(\chi^2\)

La distribución \(\chi^2\) surge de forma natural cuando trabajamos con varianzas muestrales de poblaciones normales. Si queremos construir un intervalo de confianza para \(\sigma^2\), o comparar varianzas de dos poblaciones, necesitamos conocer la distribución del estadístico \(\sum(X_i - \bar{X}_n)^2/\sigma^2\). El resultado clave es que este estadístico sigue exactamente una distribución \(\chi^2\), que definimos a continuación.

La distribución chi-cuadrado o \(\chi^2\)-cuadrado es una distribución especial de la familia gamma. Se define como:

Definición 8.1 Para \(m>0\) definimos \[ \chi^2_m \sim \Gamma\left(\dfrac m2, \dfrac 12 \right) \]

donde \(m\) representa los grados de libertad.

En realidad esta distribución es una distribución gamma con parámetros \(\alpha = \dfrac m2\) y \(\beta = \dfrac 12\) (con parámetro de forma).

El siguiente gráfico muestra la distribución \(\chi^2\) para diferentes valores de \(m\).

Código

# Generar datos para distintos grados de libertad
x <- seq(0, 30, length.out = 1000)
df_values <- c(5, 10, 15) # Grados de libertad a ilustrar
densities <- lapply(df_values, function(df) {
  dchisq(x, df)
})

# Convertir a data.frame para ggplot
df <- data.frame(
  x = rep(x, length(df_values)),
  density = unlist(densities),
  df = factor(rep(df_values, each = length(x)))
)

# Graficar la densidad χ² para cada grado de libertad
ggplot(df, aes(x = x, y = density, color = df)) +
  geom_line(linewidth = 2) +
  labs(
    title = "Distribución Chi-cuadrado",
    x = "Valor",
    y = "Densidad",
    color = "Grados de libertad"
  ) +
  cowplot::theme_cowplot() +
  scale_color_brewer(palette = "Dark2")

Código

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import chi2

x = np.linspace(0, 30, 1000)
df_values = [5, 10, 15]        # Grados de libertad a ilustrar
colors = ["#1b9e77", "#d95f02", "#7570b3"]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
for df, color in zip(df_values, colors):
    # Densidad χ²_df en cada punto
    ax.plot(x, chi2.pdf(x, df=df), linewidth=2, color=color, label=f"df = {df}")

ax.set_xlabel("Valor")
ax.set_ylabel("Densidad")
ax.set_title("Distribución Chi-cuadrado")
ax.legend(title="Grados de libertad")
ax.spines[["top", "right"]].set_visible(False)
plt.tight_layout()
plt.show()

Estas distribuciones tiene propiedades interesantes que se enuncian a continuación.

Propiedades

\(\mathbb E[X] = m\).
\(\text{Var} (X) = 2m\).
Para \(X_i \sim \chi^2_{m_i}\), \(i = 1,\dots, k\), independientes, entonces \[ \sum_{i=1}^k X_i \sim \chi^2_{\sum m_i} \]
Si \(X\sim N(0,1) \implies Y = X^2\sim \chi^2_1\).
Si \(X_i \stackrel{i.i.d}{\sim} N(0,1) \implies \sum_{i=1}^m X_i^2 = \chi^2_m\).

Ejemplo 8.3 Consideremos una muestra \(X_1,\dots,X_n\) de una distribución normal \(N(\mu,\sigma^2)\). Si transformamos cada observación como \(Z = \dfrac{X_i-\mu}{\sigma}\), cada \(Z\) sigue una distribución \(N(0,1)\).

Por lo tanto, la suma de los cuadrados de estas transformaciones sigue una distribución chi-cuadrado con \(n\) grados de libertad:

\[\begin{equation*} \sum_{i=1}^n \dfrac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} = \dfrac 1{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 \sim \chi^2_n. \end{equation*}\]

Si \(\mu\) es conocido y \(\sigma^2\) desconocido, el estimador de máxima verosimilitud (MLE) de \(\sigma^2\) es

\[\begin{equation*} \hat\sigma^2 = \dfrac 1n \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2. \end{equation*}\]

De esta manera, podemos reescribir la suma de los cuadrados de las desviaciones como una variable chi-cuadrado:

\[\begin{align*} \frac{n\hat\sigma^2}{\sigma^2} & = \frac {n}{\sigma^2}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 \\ & = \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 \sim \chi^2_n. \end{align*}\]

En el ejercicio anterior el \(\mu\) es conocido. Si suponemos que \(\mu\) es desconocido. Entonces, ¿Cuál es la distribución muestral de \((\bar{X}_n,\hat\sigma^2)\)? EL siguiente cuadro resume sus propiedades.

Más propiedades de las distribuciones \(\chi^2\)

Bajo las condiciones anteriores,

\(\bar{X}_n\) y \(\hat\sigma^2_n\) son independientes aunque \(\hat\sigma^2_n\) es función de \(\bar{X}_n\).
La distribución muestral de \(\bar{X}_n\) es \(N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)\).
Si \(\hat{\sigma}^2 = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i - \bar{X}_n)^2\), entonces \[\begin{equation*} \dfrac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^n \dfrac{(X_i-\bar{X}_n)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}. \end{equation*}\]Los \(n-1\) grados de libertad reflejan que se pierde uno al reemplazar \(\mu\) (desconocido) por \(\bar{X}_n\).

Los siguientes resultados son específicos de la distribución normal y no se cumplen en general para otras distribuciones. En particular, la independencia de \(\bar{X}_n\) y \(s^2_n\) es una propiedad notable: aunque \(s^2_n\) se calcula usando \(\bar{X}_n\), ambos estadísticos son independientes. La primera propiedad solo ocurre con distribuciones normales. La prueba no es difícil y es interesante entenderla. Para probarla necesitamos un resultado de álgebra lineal: cualquier transformación ortogonal de variables normales estándar independientes produce nuevamente variables normales estándar independientes. La siguiente proposición hace esto preciso.

Proposición 8.1 Una matriz \(A_{n\times n}\) es ortogonal si cumple que \(A^{-1} = A^T\) (equivalentemente, \(A^TA = I\)). En ese caso \(\det(A) = \pm 1\). Además si \(X, Y\in \mathbb R ^{n}\), y definimos \(AX =Y\) con \(A\) ortogonal, entonces \[ \|Y\|_2^2 = \|X\|_2^2. \]

Teorema 8.1 Si \(X_1,\dots,X_n \sim N(0,1)\), \(A\) es ortogonal \(n\times n\) y \(Y=AX\) donde \(X = (X_1,\dots,X_n)^T\) entonces \(Y_1,\dots,Y_n \sim N(0,1)\).

Prueba

Si \(X_1,\dots,X_n \sim N(0,1)\), use Gram-Schmidt con vector inicial

\[\begin{equation*} u = \left[ \frac{1}{\sqrt{n}}, \cdots, \frac{1}{\sqrt{n}}\right] \end{equation*}\]

Generamos \(A = \begin{bmatrix}u\\\vdots\end{bmatrix}\). Defina \(Y =AX\). Entonces \[ Y_1 = uX = \dfrac 1{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_i = \sqrt{n} \bar{X}_n. \]

Por la propiedad Proposición 8.1, \(\displaystyle\sum_{i=1}^n Y_i^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^n X_i^2\).

Entonces, \[ \sum_{i=2}^nY_i^2 = \sum_{i=1}^nY_i^2 - Y_1^2 = \sum_{i=1}^nX_i^2-n\bar{X}_n^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}_n)^2. \]

Como \(Y_1^2\) y \(\sum_{i=2}^nY_i^2\) son independientes, entonces \(\bar{X}_n\) y \(\dfrac{1}n \sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}_n)^2\) son independientes.

Note que \(\sum_{i=2}^n Y_i^2 \sim \chi^2_{n-1}\) ya que \(Y_i \stackrel{i.i.d}{\sim} N(0,1)\).

Si \(X_1,\dots,X_n \sim N(\mu, \sigma^2)\), tome \(Z_i = \dfrac{X_i-\mu}\sigma\) y repita todo lo anterior.

Este resultado implica directamente que \(\bar{X}_n\) y \(s^2_n\) son independientes en muestras normales: \(\bar{X}_n\) es función de \(Y_1\) (la primera componente transformada), mientras que \(s^2_n\) es función de \(Y_2,\dots,Y_n\), y todas son independientes por el teorema anterior.

Ejemplo 8.4 Sea \(X_1,\dots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)\) (\(\mu,\sigma\) desconocidos). Los MLE son

\[ \hat \mu = \bar{X}_n,\quad \hat\sigma = \bigg[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}_n)^2 \bigg]^{\frac 12}. \]

Encuentre \(n\) tal que

\[\begin{equation*} p = \mathbb P \bigg[|\hat\mu-\mu|<\dfrac {\sigma}{5}, |\hat\sigma-\sigma|<\dfrac \sigma 5\bigg] \geq \dfrac 12. \end{equation*}\]

Por independencia de \(\bar{X}_n\) y \(\hat\sigma^2_n\), \[ p= \mathbb P \bigg[|\hat\mu-\mu|<\dfrac \sigma5\bigg] \mathbb P \bigg[|\hat\sigma-\sigma|<\dfrac \sigma5\bigg] \]

Por un lado, \[ \mathbb P \bigg[|\hat\mu-\mu|<\dfrac \sigma5\bigg] = \mathbb P \bigg[-\dfrac{\sqrt n}5\leq \underbrace{\dfrac{\sqrt{n}(\hat\mu-\mu)}\sigma}_{N(0,1)} <\dfrac {\sqrt n}{5}\bigg] = \Phi\left(\dfrac{\sqrt n}{5}\right)-\Phi\left(-\dfrac{\sqrt n}{5}\right). \]

Además,

\[\begin{align*} \mathbb P \bigg[|\hat\sigma-\sigma|<\dfrac \sigma5\bigg] = & \mathbb P \bigg[-\dfrac \sigma 5 < \hat\sigma-\sigma<\dfrac \sigma5\bigg] \\ = & \mathbb P \bigg[-\dfrac{\sigma}{5} +\sigma < \hat\sigma<\dfrac \sigma5 +\sigma\bigg] \\ = & \mathbb P \bigg[\dfrac 45 \sigma < \hat\sigma<\dfrac 65\sigma\bigg] \\ = & \mathbb P \bigg[\dfrac 45 < \dfrac{\hat\sigma}{\sigma}<\dfrac 65\bigg] \\ = & \mathbb P \bigg[\left(\dfrac 45\right)^2 < \dfrac{\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}<\left(\dfrac 65\right)^2\bigg] \\ = & \mathbb P \bigg[0.64n < \dfrac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} <1.44n\bigg] \\ = & F_{\chi^2_{n-1}}(1.44n)-F_{\chi^2_{n-1}}(0.64n). \end{align*}\]

Estime \(n\) de manera que

\[\begin{equation*} \left[1-2\Phi\left(-\dfrac{\sqrt n}{5}\right)\right] \left[F_{\chi^2_{n-1}}(1.44n)-F_{\chi^2_{n-1}}(0.64n)\right] \geq \dfrac 12. \end{equation*}\]

Se resuelve numéricamente, y si \(n=21\) se cumple.

Código

n <- 1:30
# P(|X̄-μ| < σ/5) · P(|σ̂-σ| < σ/5)
probabilidad <- (1 - 2 * pnorm(-sqrt(n) / 5)) *
  (pchisq((6 / 5)^2 * n, df = n - 1) - pchisq((4 / 5)^2 * n, df = n - 1))

ggplot(
  data = data.frame(n, probabilidad),
  aes(n, probabilidad),
  linewidth = 2
) +
  geom_line(, linewidth = 2) +
  geom_hline(
    yintercept = 1 / 2,
    linetype = "dashed",
    color = "red",
    linewidth = 2
  ) +
  geom_vline(
    xintercept = 21,
    linetype = "dashed",
    color = "red",
    linewidth = 2
  ) +
  cowplot::theme_cowplot()

Código

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm, chi2

n_vals = np.arange(1, 31)
# P(|X̄-μ| < σ/5) = 2Φ(√n/5) - 1
p_media = 1 - 2 * norm.cdf(-np.sqrt(n_vals) / 5)
# P(|σ̂-σ| < σ/5) = F_χ²(1.44n) - F_χ²(0.64n)
p_var   = chi2.cdf((6/5)**2 * n_vals, df=n_vals - 1) - chi2.cdf((4/5)**2 * n_vals, df=n_vals - 1)
prob    = p_media * p_var

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
ax.plot(n_vals, prob, linewidth=2)
ax.axhline(0.5, color="red", linestyle="--", linewidth=2)
ax.axvline(21,  color="red", linestyle="--", linewidth=2)
ax.set_xlabel("n")
ax.set_ylabel("Probabilidad")
ax.spines[["top", "right"]].set_visible(False)
plt.tight_layout()
plt.show()

Código

# n mínimo que cumple la condición
n_opt = n_vals[prob >= 0.5][0]
print(f"n mínimo que cumple p ≥ 0.5: {n_opt}")

n mínimo que cumple p ≥ 0.5: 21

Ideas clave: distribución \(\chi^2\)

\(\chi^2_m \sim \Gamma(m/2, 1/2)\): es un caso especial de la Gamma con media \(m\) y varianza \(2m\).
La suma de cuadrados de normales estándar i.i.d. sigue una \(\chi^2\): \(\sum_{i=1}^m Z_i^2 \sim \chi^2_m\).
Cuando \(\mu\) es desconocido y se reemplaza por \(\bar{X}_n\), se pierde un grado de libertad: \(n\hat\sigma^2/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}\).
\(\bar{X}_n\) y \(s^2_n\) son independientes en muestras normales — esta es una propiedad exclusiva de la distribución normal.

8.3 Distribución \(t\)

La distribución \(t\) de Student resuelve un problema práctico: cuando \(\sigma\) es desconocido, el estadístico \(\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)/\sigma\) no puede calcularse directamente. Si reemplazamos \(\sigma\) por la desviación estándar muestral \(s_n\), el estadístico resultante ya no sigue una distribución normal estándar —sigue una distribución \(t\). Esta distribución tiene colas más pesadas que la normal, lo que refleja la incertidumbre adicional introducida por estimar \(\sigma\). Tanto la distribución \(\chi^2\) como la distribución \(t\) serán usadas extensivamente a lo largo de lo que resta de este libro.

Definición 8.2 Considere \(Y\) y \(Z\) dos variables independientes tal que \(Y\sim \chi^2_m\) y \(Z\sim N(0,1)\). Defina la variable aleatoria \(X\) como \[\begin{equation*} X = \dfrac Z{\sqrt{\dfrac Ym}}. \end{equation*}\]

Entonces la distribución de \(X\) se llama distribución \(t\) de Student con \(m\) grados de libertad. Se denota como \(X\sim t_m\). Esta distribución tiene como densidad

\[\begin{equation*} f_X(x) = \dfrac{\Gamma\left(\dfrac{m+1}2\right)}{\sqrt{m\pi}\Gamma\left(\dfrac m2 \right)}\left(1+\dfrac{x^2}m\right)^{-\frac{m+1}2}, \quad x\in \mathbb R. \end{equation*}\]

Unas propiedades importantes de esta distribución se enuncian a continuación.

Propiedades

La distribución \(t\) de Student es simétrica.
La media de \(X\) no existe si \(m\leq 1\). Si la media existe, es 0.
Las colas de una \(t\) de Student son más pesadas que una \(N(0,1)\). Esto quiere decir que la probabilidad de que una variable aleatoria \(X\) tome valores muy grandes o muy pequeños es mayor que la probabilidad de que una variable aleatoria \(Y\) tome valores muy grandes o muy pequeños, si \(X\sim t_m\) y \(Y\sim N(0,1)\).
Si \(m\) es entero, los primeros \(m-1\) momentos de \(X\) existen y no hay momentos de orden superior.
Si \(m>2\), entonces \(\text{Var}\left(X \right)=\dfrac m{m-2}\).
Si \(m=1\), \(X\sim \text{Cauchy}\).
Ejercicio: Pruebe que \(f_x(x)\xrightarrow[m\to \infty]{}\Phi(x)\). Es decir, la distribución \(t\) de Student converge a la distribución normal estándar cuando \(m\) es grande (la distribución \(t\)-student sirve como aproximación de la normal). La discrepancia de ambas está en la cola y se disipa cuando \(m\) es grande.

Una propiedad importante es que nos va a permitir aproximar estadísticos cuando \(\mu\) y \(\sigma\) son desconocidos.

Note primero que de la sección anterior, sabemos que si \(X_1,\dots,X_n \sim N(\mu,\sigma^2)\), entonces \(\bar{X}_n \sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)\) y \(\dfrac{n\hat\sigma^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}\) son independientes. Ademas definamos la varianza muestral como:

\[\begin{equation*} s^2_n = \dfrac 1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}_n)^2. \end{equation*}\]

Entonces \[\begin{equation*} \dfrac{\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu)}{s_n} \sim t_{n-1} \end{equation*}\]

Para entender el resultado anterior, primero defina las siguientes cantidades

\[\begin{align*} S_n^2 & =\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}_n)^2, \\ Z_n & = \sqrt n \dfrac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}. \end{align*}\]

Ahora según lo que vimos en la sección anterior, si \(Y_n = \dfrac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}= \dfrac{S_n^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}\), entonces

\[\begin{align*} T = \dfrac{Z_n}{\sqrt{\dfrac Y{n-1}}} & = \dfrac{\dfrac{\sqrt n}\sigma (\bar{X}_n-\mu)}{\sqrt{\dfrac{\dfrac{S_n^2}{\sigma^2}}{n-1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt n (\bar{X}_n-\mu)}{\sqrt{\dfrac{S_n^2}{n-1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt n (\bar{X}_n-\mu)}{s_n} \sim t_{n-1}. \end{align*}\]

Observación. Si \(n\) es grande, entonces \(s_n^2 \approxeq \hat{\sigma}^2\) ya que \(s_n^2 = \left(\dfrac n{n-1}\right) \hat{\sigma}^2\).

Ejemplo 8.5

Código

# Comparar densidades teóricas: t_5, Cauchy y Normal estándar
ggplot(data.frame(x = seq(-5, 5, length.out = 100)), aes(x)) +
  geom_function(
    fun = dt,
    args = list(df = 5),
    aes(color = "t_5"),
    linewidth = 1.5
  ) +
  geom_function(
    fun = dcauchy,
    aes(color = "Cauchy"),
    linewidth = 1.5
  ) +
  geom_function(
    fun = dnorm,
    aes(color = "Normal(0,1)"),
    linewidth = 1.5
  ) +
  labs(
    title = "Comparación de Distribuciones: t Student, Cauchy y Normal",
    x = "Valor",
    y = "Densidad"
  ) +
  cowplot::theme_cowplot()

Código

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import t, cauchy, norm

x = np.linspace(-5, 5, 500)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
# Densidades teóricas: t_5, Cauchy y Normal estándar
ax.plot(x, t.pdf(x, df=5),  linewidth=1.5, label="t₅")
ax.plot(x, cauchy.pdf(x),   linewidth=1.5, label="Cauchy")
ax.plot(x, norm.pdf(x),     linewidth=1.5, label="Normal(0,1)")
ax.set_xlabel("Valor")
ax.set_ylabel("Densidad")
ax.set_title("Comparación de Distribuciones: t Student, Cauchy y Normal")
ax.legend()
ax.spines[["top", "right"]].set_visible(False)
plt.tight_layout()
plt.show()

Note este ejemplo con variables distribuciones t y normal.

Código

# Densidades t para distintos grados de libertad vs Normal estándar
ggplot(data = data.frame(x = seq(-5, 5, length.out = 1000)), aes(x)) +
  stat_function(
    fun = dnorm,
    args = list(mean = 0, sd = 1),
    aes(color = "Normal(0,1)"),
    linewidth = 1.5
  ) +
  stat_function(
    fun = dt,
    args = list(df = 1),
    aes(color = "t_1"),
    linewidth = 1.5
  ) +
  stat_function(
    fun = dt,
    args = list(df = 5),
    aes(color = "t_5"),
    linewidth = 1.5
  ) +
  stat_function(
    fun = dt,
    args = list(df = 10),
    aes(color = "t_10"),
    linewidth = 1.5
  ) +
  ylab("") +
  scale_color_discrete(labels = c("Normal(0,1)", "t_1", "t_5", "t_10")) +
  labs(color = "Distribución") +
  cowplot::theme_cowplot()

Código

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import t, norm

x = np.linspace(-5, 5, 1000)
# Densidades t para distintos df y la Normal estándar
specs = [
    (norm.pdf(x),      "Normal(0,1)"),
    (t.pdf(x, df=1),   "t₁"),
    (t.pdf(x, df=5),   "t₅"),
    (t.pdf(x, df=10),  "t₁₀"),
]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
for y, label in specs:
    ax.plot(x, y, linewidth=1.5, label=label)
ax.set_ylabel("")
ax.legend(title="Distribución")
ax.spines[["top", "right"]].set_visible(False)
plt.tight_layout()
plt.show()

Ideas clave: distribución \(t\) de Student

La distribución \(t_m\) surge al dividir una \(N(0,1)\) por la raíz de una \(\chi^2_m/m\) independiente.
Tiene colas más pesadas que la normal; cuando \(m \to \infty\), converge a \(N(0,1)\).
El estadístico \(\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)/s_n \sim t_{n-1}\) es fundamental cuando \(\sigma\) es desconocido.
Usar \(t\) en lugar de \(Z\) cuando \(n\) es pequeño y \(\sigma\) desconocido no es opcional: ignorarlo produce intervalos de confianza demasiado estrechos.

8.4 Resumen

Distribución	Definición	Media	Varianza	Uso principal
\(\chi^2_m\)	\(\Gamma(m/2,\,1/2)\)	\(m\)	\(2m\)	Varianza muestral, bondad de ajuste
\(t_m\)	\(Z/\sqrt{Y/m}\), \(Z\perp Y\)	\(0\) (si \(m>1\))	\(m/(m-2)\) (si \(m>2\))	Media con \(\sigma\) desconocido

Resultados clave para muestras normales \(X_i \sim N(\mu, \sigma^2)\):

\(\bar{X}_n \sim N(\mu,\,\sigma^2/n)\)
\(\dfrac{n\hat\sigma^2}{\sigma^2} = \dfrac{(n-1)s^2_n}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\), con \(s^2_n = \dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i - \bar{X}_n)^2\)
\(\bar{X}_n \perp s^2_n\) (independencia, exclusiva de la distribución normal)
\(\dfrac{\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu)}{s_n} \sim t_{n-1}\)